EXPERIMENTOS MATEMATICOS
Dos teoremas con un triangulo de papel
Desarrollo
Tomamos un triángulo cualquiera de papel y lo colocamos de manera que el lado mayor sea la base b. Marcamos su altura h (doblando como se indica en la figura 1). Llevando los tres vértices del triángulo al punto donde la altura corta a la base (figura 2), obtenemos un rectángulo (figura 3).
Aplicación
Hemos probado dos teoremas:
1.Los tres ángulos del triángulo original suman 180º
2.Observamos que tanto la altura como la base y el área de este rectángulo son la mitad que las del triángulo original (todo esto lo comprobamos al doblar).
Encuentra la estrategia y gana: juegos de nim
Dependiendo del juego de nim, se necesitarán un determinado número de cerillas (pueden valer también palillos, lápices, caramelos, etc.) y una mesa donde colocarlas
Fundamento científico
Los juegos de nim se plantean a partir de una serie de filas (cuatro en el gráfico adjunto) con un número determinado de cerillas o palillos en cada una de ellas (1, 3, 5 y 7). Cada uno de los dos jugadores debe retirar en su turno de una sola fila una cerilla como mínimo, y hasta un máximo de todas las cerillas que queden. Gana el jugador que retira la última cerilla.
Para el juego concreto mostrado en la figura, existe una estrategia que garantiza la victoria del segundo jugador. Esta estrategia se basa en la numeración en sistema binario, donde el uno se representa por «1», el dos por «10», el tres por «11», etc.
Desarrollo (estrategia para el 2.º jugador)
Escribe el número de cerillas que hay en cada fila, en sistema binario.
Coloca estos números (escritos en binario) unos debajo de otros, ajustados por la derecha.
Suma cada columna de cifras por separado en sistema decimal (como toda la vida).
Observa que, inicialmente, todas las sumas de dichas columnas son pares (el cero es par). Cualquier movimiento del primer jugador destruye esta propiedad, puesto que al menos una de las columnas será un número impar.
Tú deberás responder con un movimiento tal que dejes todas las columnas en número par. Mantén esta estrategia hasta que todas las columnas sean ceros, y ya has ganado.
La cinta de Möbius
- Tijeras
- Pegamento
- Lápices
- Tiras de papel
Introducción
En 1858, Möbius hizo un sorprendente descubrimiento: encontró una superficie de una sola cara y un solo borde con sorprendentes propiedades: la «banda de Möbius».
Desarrollo
Desarrollo
- .Toma una tira de papel, haz una torsión y une los extremos de forma que puedas obtener la banda de la figura de la derecha. Ayudándote del lápiz dibuja una línea sobre ella recorriéndola en su totalidad. ¿Has cambiado de cara en tu recorrido? ¿Cuántas caras y cuántos bordes hay en tu banda?
- .Construye dos bandas de Möbius y corta cada una como indica el dibujo de arriba, a 1/2 y a 1/3 del borde. ¿Qué has obtenido en cada caso?
Laboratorio de Matemáticas dentro de «Ciencia en Acción»
Desarrollo
en el que se relata cómo Dido llega al norte de África para establecerse con su pueblo. El rey del lugar solo le ofrece la parcela de tierra que pueda rodear con la piel de un toro. Dido cortó la piel en finas tiras formando una larga cuerda y la dispuso de manera que rodease la mayor área posible.
Emulando a Dido, apostamos que se puede hacer un agujero en una carta de forma que una persona pase a través de él. Ponemos de manifiesto que hay muchas maneras, no obvias, de resolver los problemas matemáticos. El material empleado eran unas tijeras y una cartulina de tamaño A6. Para poder hacer el agujero, sigue los pasos del esquema, cortando por las líneas señaladas en rojo. Un área es una suma infinita de longitudes: cuantos más y más finos cortes puedas hacer, mayor longitud obtendrás en la curva. Comprueba que en esta banda se pueden resolver problemas que no tienen solución en un plano. Por ejemplo: «¿Se pueden unir tres casas con tres pozos con caminos que no se corten?»
El «experimento» propuesto es una versión matemática del pasaje de la Eneida de Virgilio
en el que se relata cómo Dido llega al norte de África para establecerse con su pueblo. El rey del lugar solo le ofrece la parcela de tierra que pueda rodear con la piel de un toro. Dido cortó la piel en finas tiras formando una larga cuerda y la dispuso de manera que rodease la mayor área posible.
1.Dobla la carta por la mitad.
2. Estando doblada, corta desde el doblez hacia los lados.
3. Despliega la carta y corta a lo ancho del doblez entre cada dos cortes longitudinales
Vuelve a doblar y corta ahora desde el borde hasta el centro (tras estos pasos habrás cortado por las líneas azules de la figura).
Magia y Matemáticas
Materiales:
Para realizar este juego, nos fabricaremos las 32 tarjetas perforadas de cartón que aparecen en la imagen.
Fundamento científico
Cosas tan sencillas como la expresión de los números en base 2 pueden llevarnos a realizar juegos realmente mágicos.
Recortamos 32 rectángulos de cartón, los numeramos del 0 al 31 y les quitamos el ángulo superior derecho, lo que nos permitirá conservar las tarjetas en la posición adecuada. En la parte superior de cada tarjeta hay ranuras y agujeros (5 entre los 2), las ranuras son los unos, y los agujeros, los ceros. Las cinco posiciones representan el número de la tarjeta en binario.
En la parte inferior de cada tarjeta hay ranura si arriba hay agujero, y agujero si arriba hay ranura (31 menos el número en binario).
El diámetro de los agujeros es ligeramente superior al de un palo de chupa-chups. Eso nos permite poder meter dos palos, uno arriba y otro abajo, y separar unas tarjetas de otras.
Desarrollo
¿Merece la pena tanto trabajo? Cuando tengas terminadas las tarjetas podrás hacer esto: pídele a alguien que las mezcle a fondo. Tras su mezcla, comienzas introduciendo los palos por las ranuras de la derecha (las de las unidades binarias), colocando las tarjetas extraídas por arriba delante de las otras. Eso hace que las 16 primeras tarjetas del mazo sean ahora las que acaban en 0, y las 16 últimas, las que acaban en 1.A continuación, metemos los dos palos en las siguientes ranuras, extraemos de nuevo y colocamos las tarjetas extraídas delante de las otras. Así tendremos el primer cuarto de tarjetas acabando en 00, el segundo cuarto, en 01, el tercer cuarto, en 10 y el cuarto, en 11.
Continuamos con las otras tres extracciones, colocando siempre la mitad extraída delante de la otra. Ahora está claro que, contra toda intuición, ¡las tarjetas aparecen ordenadas
¡Pásalo pompa!
Fundamento científico
Una pompa de jabón tiene área menor que cualquier otra superficie «cercana» a ella (de ahí el nombre superficie minimal). Si varias películas de jabón se cortan, lo harán siempre de tres en tres, formando ángulos de 120°.Desarrollo
1.Un litro de agua (usar el número de litros de agua necesarios multiplicando las proporciones).
2. 7 cucharadas soperas de glicerina.
3. 5 cucharadas soperas de lavavajillas (es conveniente usar un buen lavavajillas).
A continuación, metemos los dos palos en las siguientes ranuras, extraemos de nuevo y colocamos las tarjetas extraídas delante de las otras. Así tendremos el primer cuarto de tarjetas acabando en 00, el segundo cuarto, en 01, el tercer cuarto, en 10 y el cuarto, en 11. Continuamos con las otras tres extracciones, colocando siempre la mitad extraída delante de la otra. Ahora está claro que, contra toda intuición, ¡las tarjetas aparecen ordenadas.
Poliedros
Fundamento científico
Los poliedros son cuerpos geométricos tridimensionales cuyas caras son polígonos. Son objetos relevantes en muchas ramas de las matemáticas que han sido estudiados desde hace más de veinte siglos.
Un teorema esencial al respecto es la llamada fórmula de Euler, que afirma que los números C, A, V de caras, aristas y vértices de cualquier poliedro se relacionan del modo siguiente:
C + V = A + 2
La fórmula de Euler permite demostrar que solo existen 5 poliedros regulares (con todas las caras iguales a un mismo polígono regular): tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Los poliedros regulares eran ya bien conocidos por los matemáticos de
Desarrollo
Existen distintos modos de estudiar poliedros de forma lúdica. Entre ellas, su construcción ensamblando piezas poligonales de plástico proporciona la posibilidad de experimentar por uno mismo las limitaciones que impone la fórmula de Euler.
También la construcción de poliedros, tanto convexos como estrellados, mediante papiroflexia modular (origami) es un modo entretenido y apasionante de acercarse a estos objetos geométricos fundamentales: desde la construcción de un tetraedro con dos simples billetes de metro, hasta la complicada elaboración de un icosaedro estrellado con unas cuantas decenas de simple papel.
El desarrollo de la actividad consiste en experimentar con los poliedros por medio de los dos métodos descritos.
Los poliedros regulares eran ya bien conocidos por los matemáticos de la Antigüedad. Existen además 13 poliedros semirregulares, que tienen un grado de simetría un poco menor.
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